Пусть имеется некоторая функция f(x). Чтобы найти ее экстремумы, требуется найти производную этой функции и приравнять ее к нулю. Из полученного уравнения следует найти значения х – это будут значения аргумента функции f(x) в точках экстремумов.

В данной работе исследуется синусоидальная функция, поэтому рассмотрим нахождение экстремумов на ее примере.

Итак, пусть задана функция:

                                                                      (1)

где 80 – амплитуда функции;

2∙π – круговая частота функции, называемая также циклической;

x – аргумент функции.

Найдем производную этой функции:

     (2)

Приравняем полученное выражение к нулю:

                                                                    (3)

Корни этого уравнения:

                                                        (4)

где k – целое число.

В данной работе ограничимся исследованием функции (1) на интервале одного ее периода.

Период функции 80∙sin(2∙π∙x):

                                                                                    (5)

Тогда значения x_k (4), принадлежащие интервалу [0, T]:

                                                                                      (6)

или:

                                                                                (7)

После упрощения:

                                                                                  (8)

Поскольку k является целым числом, на интервале от –0,5 до 1,5 оно может принять только два значения: 0 и 1.

Таким образом, корни (4):

                                                                          (9)

Именно при этих значениях x исследуемая функция 80∙sin(2∙π∙x) принимает максимальные либо минимальные значения.

Для того чтобы определить чем именно является экстремум функции f(x): максимумом или минимумом, нужно узнать, как меняет свой знак производная этой функции в точках x₀ и x₁. Если знак меняется с “+” на “–”, то в данной точке максимум, если наоборот – минимум.

Опишем это на примере корня x₀. Возьмем 0,24 как значение меньшее x₀=0,25, а значение 0,26 – как значение большее x₀ и вычислим значения функции f’(x) в этих точках:

                                  (10)

Как видим, в точке x₀ знак производной меняется с плюса на минус, следовательно, в точке x₀ имеет место максимум функции f(x)=80∙sin(2∙π∙x).

Точка x₁ исследуется аналогичным образом:

                                  (11)

Знак производной меняется с минуса на плюс, следовательно, в точке x₁ находится минимум функции f(x)=80∙sin(2∙π∙x).

Значения исследуемой функции в точках экстремума:

                                              (12)

Для наглядности на рисунке 1 представлен график исследуемой функции 80∙sin(2∙π∙x), график ее производной 160∙π∙cos(2∙π∙x), а также отмечены точки экстремумов.

Рисунок 1 – График функции 80∙sin(2∙π∙x) (выполнен красным цветом) и ее график производной 160∙π∙cos(2∙π∙x) (выполнен синим цветом)

По рисунку хорошо видно, что производная меняет знак с “+” на “–” в точке с абсциссой x₀ (максимум) и с “–” на “+” в точке с абсциссой x₁ (минимум). 

Подготовка к лабораторной работе

1.    Изучить основные сведения об исследовании функции на экстремумы.

2.    Исследовать на экстремумы функцию:

                                                           (13)

где I_M=0,1А – амплитуда исследуемого в работе синусоидального сигнала (ток);

T=50с – период исследуемого сигнала;

t – время.

Исследование произвести в интервале одного периода, руководствуясь приведенным выше примером.

3.    Подготовить форму отчета, в которой должны присутствовать:

a)    цель работы;

b)   исследование функции f(t) на экстремумы;

составить таблицу по форме, указанной ниже, и внести в таблицу расчетные значения абсцисс и ординат в точках экстремума.